数学中的重大问题通常不总会像其他科学领域的谜团一样能引起外界的兴趣。“对于数学研究是什么样子或它的意义是什么，许多人仍然困惑不已。”密歇根大学的数学家Wei Ho说。尽管人们经常误解她工作的性质，但Ho说这解释起来可能并不难。“我在聚会上的闲聊话题总是关于椭圆曲线。”她补充道。Ho经常问参加聚会的人：“你记得中学学过的抛物线和圆吗？一旦你开始创建三次方程，事情就会变得非常困难......关于它们有很多悬而未决的问题。”
一个名为贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture）的著名未解之谜涉及椭圆曲线方程解的性质，它是克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute，CMI）创始科学顾问委员会选定的七个千禧年大奖难题之一，这些选出的问题被该研究所描述为“数学家在千年之交正在努力解决的问题中最难的一批”。2000年5月24日，在巴黎举行的一次特别活动中，该研究所宣布为首个证明或推翻任意一个难题的人提供100万美元的奖励。2018 年修订的规则规定，结果必须被“全球数学界普遍接受”。
2000 年的公告为人们提供了一个价值700万美元的“理由”来解决这七个问题：黎曼猜想、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想、P/NP 问题、杨-米尔斯存在性和质量间隙、庞加莱猜想、 纳维-斯托克斯存在性与光滑性，以及霍奇猜想。尽管声势浩大，还有金钱奖励，但21年后只有庞加莱猜想得到了证明。
意料之外的答案
2002-2003年，当时在俄罗斯科学院斯特克洛夫数学研究所的俄罗斯数学家Grigori Perelman在网上分享了与他解答庞加莱猜想的相关工作。2010年，CMI宣布Perelman已经证明了这个猜想，并在此过程中也解决了已故数学家William Thurston的相关几何化猜想。不过，很少与公众接触的Perelman拒绝了奖金。
据CMI所说，庞加莱猜想聚焦于一个拓扑问题，即三维球面是否“固有”被称为“单连通”的特性。这个特性意味着如果你用橡皮筋包裹球体的表面，在不扯断或让它从表面离开的前提下，你可以将橡皮筋压缩到一个点。二维球面或甜甜圈孔是单连通的，但甜甜圈（或其他带有孔的形状）不是。
二维球面上的环收紧到了一个点（图片来源：Wikipedia）
牛津大学数学家兼CMI所长Martin Bridson将Perelman的证明描述为“过去20年当之无愧的重大事件之一”和“我们对三维空间的理解的思想桂冠”。这一发现可能会在未来带来更多见解。“证明需要新的工具，这些工具本身正应用于数学和物理学中，影响深远。”弗吉尼亚大学的数学家Ken Ono说。
Ono一直专注于另一个千年问题：黎曼猜想，它涉及质数及其分布。2019年，他和他的同事在《美国科学院院刊》上发表了一篇论文，重新审视了一种古老的，已经被弃用的方法，并用它来寻求答案。在随附的评论中，普林斯顿高等研究院的数学家、1974年数学最高荣誉菲尔兹奖获得者Enrico Bombieri将这项研究描述为“重大突破”。然而Ono表示，将他的工作描述为“即将证明黎曼猜想”是没有根据的。
反面的进展
到目前为止，“列出的问题中仅有一个已经得到解决”这一事实对专家来说并不奇怪——毕竟，这些谜题已经存在很长时间，而且解答难度惊人。普林斯顿大学的数学家、2014年菲尔兹奖获得者Manjul Bhargava表示，目前“已解决的问题数量比我预期的要多一个”。Bhargava本人最近报告了多项与贝赫和斯维讷通-戴尔猜想相关的成果。在其中一项成果里，他说他和他的同事“证明超过 66%的椭圆曲线满足贝赫和斯维讷通-戴尔猜想”。
解答这些问题都不容易，但有些问题可能会格外棘手。P/NP问题看起来很难解决，以致于得克萨斯大学奥斯汀分校的计算机科学家Scott Aaronson称其“显示了我们的无知”。这个问题涉及容易验证的问题（一类称为NP的查询）是否也有易于找到的解（一类称为P的问题）。Aaronson撰写了大量关于 P/NP问题的文章。在2009年发表的一篇论文中，他和高级研究所的数学家和计算机科学家、2021年阿贝尔奖的获得者之一Avi Wigderson展示了证明类P与类NP不同的新障碍。Aaronson和Wigderson发现的障碍是迄今为止发现的第三个。
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麻省理工学院的理论计算机科学家和数学家Virginia Vassilevska Williams说：“在证明哪些方法行不通的方面，已经取得了很多进展……证明类P不等于类NP将是证明密码学具有良好基础的重要垫脚石，现在的密码学基于未经证实的假设。”其中之一就是 P不等于NP。“为了表明你无法破解人们在现代计算机中需要的加密协议，包括那些保护我们的金融和其他在线个人信息安全的协议，你至少需要证明 P不等于NP。”Vassilevska指出。
“如果让我用数字说明说有多大把握，我会说P不等于NP的机会有97%或98%。”Aaronson说。
攀登珠峰
寻找“千禧年大奖难题”的答案类似于第一次尝试攀登珠穆朗玛峰，Ono表示：“在此过程中，有许多阶梯，它们象征着取得的进展。真正的问题是：你能到达大本营吗？就算可以，你也知道你仍然离峰顶很远。”
对于诸如贝赫和斯维讷通-戴尔猜想猜想以及黎曼猜想等问题，Ono说：“显然我们还在尼泊尔，”——登山的出发国之一——“但当我们到达大本营之后呢？”数学家可能仍然需要额外的“装备”才能到达顶峰。“我们现在正试图弄清楚数学中这些‘高科技工具’和‘氧气瓶’会是什么，它们将帮助我们达到顶峰。”Ono说。谁知道在当前的研究和这些问题的可能解决方案之间会遇到多少障碍？“也许有 20 个,也许我们比我们想象的更接近。”Ono说。
尽管这些问题很难，数学家对长期前景持乐观态度。“我非常希望，在我担任克雷研究所的所长时，其中一个问题会得到解决。”Bridson说。他指出 CMI 正在制定战略，以最好的方式继续引起对这些问题的关注。“但必须承认，它们是非常困难的问题，可能会在我的余生中继续影响数学却没有得到解决。”
撰文：Rachel Crowell
